Você se lembra da emoção de abrir um pacotinho de figurinhas, torcendo para encontrar aquele jogador raro e brilhante para completar seu álbum? Ou a leve frustração de tirar pela quinta vez o mesmo zagueiro repetido? Guarde essa sensação.
Agora, imagine essa lógica em um videogame. Essa é a base dos populares jogos “Gacha”. O nome vem de máquinas de brinquedos no Japão, mas a ideia é a mesma de um álbum de figurinhas ou de um Kinder Ovo: você paga (com dinheiro real ou do jogo) para ter uma chance de conseguir um item aleatório, que pode ser um personagem, uma carta ou uma arma poderosa.
Uma mecânica parecida, muito comum em jogos de RPG online (MMORPGs), é a de “refinar” um item que você já possui. Você gasta recursos para tentar deixar sua espada mais forte. A tentativa pode:
- Dar certo (sua espada sobe de nível).
- Falhar (nada acontece, mas você perdeu os recursos).
- Falhar catastroficamente (sua espada volta ao nível anterior!).
É nessa terceira possibilidade que mora o perigo e a frustração. Neste artigo, vamos usar a matemática para investigar exatamente essa mecânica. Vamos construir um modelo para descobrir qual é o custo real, em média, para levar um item até o nível máximo. Você vai se surpreender.
Indo para o mundo (não tão) real os MMORPGs.
Vamos começar com um cenário ideal. Imagine que você tem uma espada em um jogo e quer melhorá-la para causar mais dano e avançar na história. Para cada tentativa de “refino”, você gasta 1 minério e o ferreiro te dá uma generosa chance de 50% de sucesso.
Importante: neste mundo perfeito, se a tentativa falhar, você só perde o minério gasto. O nível da arma não cai.
A pergunta é simples: partindo do nível +1, quantos minérios precisaríamos, em média, para chegar ao sonhado nível +10?
A resposta aqui é bem intuitiva. Se a chance de sucesso para cada nível é de 50% (ou 1 em 2), esperamos precisar, em média, de 2 tentativas (e portanto, 2 minérios) para passar de um nível para o outro. É como jogar uma moeda para cima e esperar dar “cara”: na média, você precisa de dois lançamentos para conseguir.
Como precisamos subir 9 níveis no total (do +1 até o +10), o cálculo é direto:
9*2=18 minérios ( em média)
Parece razoável, certo? Guarde este número: 18.
Agora, vamos adicionar uma pequena pitada de maldade no sistema, uma mecânica que os jogos adoram usar. É aqui que a verdadeira diversão (e a necessidade de equações de recorrência) começa.
A primeira Regra Cruel: E se a Falha te Fizer Voltar Atrás?
Agora, o jogocomeça a fica sério. Vamos introduzir a mecânica que causa a frustração de tantos jogadores: o downgrade. A nova regra é: a chance de sucesso continua sendo 50%. Mas, se você falhar, o nível de refino da sua arma cai em 1 nível, porém sua arma não pode ir pro nível 0. Se falhar no nível 1 pro 2 ela continua no nível 1.
Com essa reviravolta, a nossa pergunta fica muito mais complexa: quantos minérios, em média, gastaríamos para atingir o nível +10 partindo do +1? A intuição já não nos ajuda tanto, então vamos por partes, nível a nível.
O primeiro degrau: Do +1 para o +2
Vamos analisar a primeira subida. No nível +1, a nova regra ainda não mostra suas garras. Afinal, se a arma falhar, não existe um “nível 0” para onde ela possa cair. Ela simplesmente permanece no +1.Isso significa que a situação para subir do +1 para o +2 é exatamente a mesma do nosso cenário otimista anterior. O custo médio continua sendo de 2 minérios.
O segundo degrau: Do +2 para o +3
É aqui que o pesadelo começa. Ao tentar o refino no nível +2, o que pode acontecer?
- 50% de chance: Sucesso! Você avança para o +3.
- 50% de chance: Falha. Sua arma volta para o +1.
Percebeu o problema? Para calcular o custo de chegar ao +3, agora precisamos saber o custo de recomeçar todo o processo a partir do +1. O cálculo de um nível passou a depender do resultado de outro nível.
A conta deixou de ser uma linha reta. Bem-vindo ao mundo das equações de recorrência.
Agora vamos traduzir essa lógica para a matemática. O nosso objetivo é encontrar o número esperado de minérios (ou tentativas) para chegar a um nível final partindo de um nível inicial.
Nota de Notação: Para facilitar, vamos usar E(X⮕Y) o número esperado de transições para partir de X e chegar Y pela primeira vez.
O Cálculo para Chegar ao Nível +3
Nossa primeira equação define o custo para ir do +2 para o +3. Gastamos 1 minério e então:
- Com 50% de chance, o jogo acaba (custo adicional de 0).
- Com 50% de chance, voltamos para o +1 e temos que arcar com o custo de chegar ao +3 de lá
Matematicamente:
E(2⮕3) =0.5*(1)+0.5*[E(1⮕3)+1]=1+0.5*E(1⮕3)
E(2⮕3) = 1+0.5*E(1⮕3) [1]
Podemos exapandir de novo o segundo termo e vamos obter.
E(2⮕3) = 1+0.5*0.5*[E(1⮕3)+1]+0.5*0.5*[E(2⮕3)+1] =1.5+0.25*[E(1⮕3)+E(2⮕3)]
3*E(2⮕3) = 6+E(1⮕3) [2]
Fazendo o sistema de [1] e [2] obteremos:
3+1.5*E(1⮕3) = 6+E(1⮕3)
E(1⮕3) = 6
E(2⮕3) = 4
alem disso temos
E(1⮕2)=2
Aumentando o Desafio: Rumo ao Nível +4
Seguindo a mesma lógica, podemos construir o sistema para chegar ao nível +4. As equações de recorrência serão:
E(3⮕4) =1+0.5*E(2⮕4) [1]
Temos E(3⮕4) =1+0.5*E(2⮕4)=1+0.5*[0.5*E(1⮕4)+0.5*E(3⮕4)+1]
E(3⮕4)=1.5+0.25*E(1⮕4)+0.25*E(3⮕4)
3*E(3⮕4)=6+E(1⮕4)[2]
Interando mais uma vez
3*E(3⮕4)=6+E(1⮕4))=6+1+0.5*(E(1⮕4)+0.5*E(2⮕4))
6*E(3⮕4)=14+E(1⮕4)+E(2⮕4) [3]
Temos entao
2*E(3⮕4) =2+E(2⮕4)
3*E(3⮕4)=6+E(1⮕4)
6*E(3⮕4)=14+E(1⮕4)+E(2⮕4)
Resolvendo:
E(1⮕4)=12
E(2⮕4)=10
E(3⮕4)=6
E(1⮕3) = 6
E(2⮕3) = 4
E(1⮕2) = 2
E(1⮕1) = 0
Com isso temos a suspeita grande que
Sendo E(n) o valor para chegar de 1 para n
E(n⮕(n+1))=2n
e
E(1⮕n)=n(n-1)
Mostrando o primeiro resultado
Passo 1: A Equação para uma Posição Genérica (i≥2)
Quando você está na posição i (com i≥2), você dá um passo.
- Com probabilidade 0,5, você vai para i+1 (sucesso, o tempo adicional é 0).
- Com probabilidade 0,5, você vai para i−1 (um revés). Agora, você está em i−1 e seu objetivo ainda é chegar em i+1. O tempo esperado para isso é E(i−1→i+1).
A equação para o tempo esperado é:
E(i⮕i+1})=1+(0,5×0)+(0,5×E(i-1⮕i+1))
E(i⮕i+1)=1+0,5×E(i-1⮕i+1)
Passo 2: A Intuição Principal
O que é E(i-1⮕i+1)? É o tempo para ir de i−1 até i+1. Para fazer isso, é obrigatório passar pela posição i. Portanto, podemos quebrar essa jornada em duas etapas sequenciais:
- Primeiro, ir da posição i−1 para a posição i. O tempo esperado é E(i-1⮕i).
- Depois, ir da posição i para a posição i+1. O tempo esperado é E(i⮕i+1).
Como a expectativa é linear, podemos somar os tempos:
E(i-1⮕i+1)=E(i-1⮕i)+E(i⮕i+1)
Passo 3: Criando a Relação de Recorrência
Agora, substituímos a equação do Passo 2 na equação do Passo 1 eliminando o termo E(i−1→i+1):
E(i⮕i+1)=1+0,5×(E(i-1⮕i)+E(i⮕i+1}))
Vamos chegar em:
E(i⮕i+1})=2+E(i−1→i)
Seja X_{i} =E(i→i+1) ficamos com
X_{i}=2+X_{i-1}
Agora tá fácil pois para obtermos cada elemento de Xn basta escrever todos eles e teremos uma soma teléscopica
X_{n}=2 +X_{n-1}
X_{n-1}=2 +X_{n-2}
X_{n-2}=2 +X_{n-3}
.
.
.
X_{3}=2+X_{2}
X_{2}=2+X_{1}
Porem X_{1}=0 e X_{2}=2
Somando tudo
Chegaremos em X_{n}=2n por consequencia E(n→n+1)=2n
Mostramos também os casos iniciais E(1⮕4)=12, E(1⮕3)=6 e E(1⮕2)=2
O Efeito Dominó: Provando a Fórmula Passo a Passo
Iremos mostrar agora uma das provas clássicas cobradas em olimpíadas e problemas universitários de matemática. O princípio da indução finita!
A lógica é como a de um efeito dominó:
Provamos que, se qualquer dominó cair, ele necessariamente derruba o próximo (o “Passo Indutivo”).
O princípio da indução finita nada mais é que mostrar algum caso inicial e em seguida mostrar a hipótese indutiva se vale para um valor genérico n então também vale para n+1. E porque isso é lindo?
Provamos que o primeiro dominó cai (o “Caso Base”).
Porque ao mostrar o caso inicial e hipótese estamos diretamente dizendo que vale para o caso seguinte da hipótese, e o seguinte, e o seguinte, e o seguinte,….. Até que possamos chegar em todo número finito.
Passo 1: O Caso Base (O Primeiro Dominó)
Mostramos os casos iniciais E(1⮕4)=12=4*3 , E(1⮕3)=6=3*2 e E(1⮕2)=2 =2*1
Funciona para o primeiro dominó.
Passo 2: O Passo Indutivo (A Reação em Cadeia)
Agora, a parte mais legal. Vamos assumir que a nossa fórmula é verdadeira para um nível genérico n. A isso chamamos de Hipótese de Indução:
Assumimos que: E(1⮕n)=n(n-1) é verdade
Mas temos:
E(1⮕n+1)=E(1⮕n)+E(n→n+1)
E mostramos que:
E(n⮕(n+1))=2n
logo:
E(1⮕n+1)=E(1⮕n)+2n
portanto
E(1⮕n+1)= n(n-1)+2n=n^2-n+2n=n^2+n=n(n+1)
Exatamente o que queríamos demonstrar! Provamos que se a fórmula funciona para n, ela também funciona para n+1. O dominó derrubou o próximo e a cadeia toda por consequência, a fómula foi mostrada!
Com isso temos o resultado do número médio de minerios do nivel 1 para o nível 10 que seria 10*9= 90 minérios.
A Conclusão (e a Dor de Cabeça)
A conclusão aqui é poderosa: a simples adição de uma regra de “downgrade” fez o custo para os jogadores disparar de forma quadrática, onde antes era linear. Se no jogo “bonzinho” gastaríamos 18 minérios, no jogo “cruel” precisamos de 90. É uma mudança sutil nas regras que revela a genialidade, ou a maldade, do design desses jogos.
Essa dificuldade, no entanto, cria um paradoxo viciante. A frustração do “downgrade” não só torna o item final imensamente mais raro e valioso, como também garante que a descarga de dopamina ao consegui-lo seja proporcional à dor de cabeça da jornada. Além disso, em um sistema tão punitivo, cada sucesso intermediário deixa de ser um mero passo e se transforma em uma grande conquista, dando o ânimo necessário para continuar na “esteira” do jogo.
E acredite: este ainda é o cenário “bonzinho”. Em um próximo artigo, veremos como os desenvolvedores realmente “apertam os parafusos”. Vamos deixar o modelo mais realista (e doloroso) ao introduzir os custos crescentes, afinal, quanto mais poderoso o item, mais cara a aposta. E, como se não bastasse, adicionaremos as chances de sucesso decrescentes, porque a perfeição, claro, é sempre mais difícil de ser alcançada. E para isso utilizaremos um dos modelos mais úteis e estudados de modelos probabilísticos: As cadeias de Markov.
